両対数型回帰式の意味を考えるぽよ～

 世の中、対数正規分布するものってたくさんあるよな！例えば…所得の分布とかな！

こういう形しているデータは対数変換してあげると綺麗に正規分布になって回帰分析してもイイ感じだ。でもチョット待ってくれ。

\(logY=βlogX+α\)

例えば上の回帰式。これの式ってどうやって解釈したらいいの？対数をとった\(X\)が1単位増加したとき対数をとった\(Y\)が何単位増加するかって考えるわけ？？ハトニーちゃんそんな難しいことわかんないぽよ～＞＜　　ってわけで今回は両対数型回帰式の解釈について考えてみるぽよ～。

 突然だけど、君は弾力性を知ってるかぽよ～？弾力性は経済学部だと習ってると思うけど…他学部だとわかんないな！　とりあえず以下の式を見てくれぽよ！これが弾力性の定義式ぽよ。

\(\frac{dY/Y}{dX/X}=ε\)

日本語で言うなら、\(X\)の微小な変化率分の\(Y\)の微小な変化率が弾力性になる、ということになるぽよ。もっとわかりやすく言うと\(X\)が1%変化したとき\(Y\)が何%変化するか、を表すものが弾力性ということになるぽよ。（弾力性 - Wikipedia）この弾力性の考え方を利用することで両対数型回帰式は解釈しやすくなるんだぽよ！ところで上の式の分子と分母の形はどっかで見覚えがあるぽよ！　ってことでまた唐突に\(log\)の微分について考えてみるぽよ！

\(log\)の微分は

\(\frac{dlogz}{dz}=\frac{1}{z}\)

となって、上の式を変形すると

\(dlogz=\frac{dz}{z}\) 

という形になるから、弾力性の式は

\(\frac{dlogY}{dlogX}=ε\)

と書き換えられるぽよ！(O_o)ムム！よく見るとこれは最もシンプルな微分方程式の形ぽよ！これは変数分離のテクニックで解くことができそうぽよ！そこでまず\(dlogX\)を右辺に持って行き、

\(dlogY=εdlogX\)

積分すると

\(∫dlogY=ε∫dlogX\)

\(logY+C_{1}=εlogX+C_{2}\)   ※\(C_{1},C_{2}\)は任意の定数ぽよ

となって、\(C_{1},C_{2}\)についてはまとめて\(C_{3}\)とすれば、

\(logY=εlogX+C_{3}\)

という形になったぽよ！見て見て！!この式の形は\(logY=βlogX+α\)と全くおんなじぽよ！つまり、対数とって回帰分析で出した\(β\)を弾力性として捉えることができるぽよ！このことにより両対数型の回帰式を\(X\)が1%変化したとき\(Y\)が何%変化するか、と解釈することができるようになったぽよ！うぉ～分かりやすい！これならハトニーちゃんでも理解できるね！やったねハトニーちゃん( '-^ )b☆うひょおおおおおおおんお！んお！んお！

～糸冬～